Уроженец Голуэя, Эрон Коннолли начал футбольную карьеру в молодёжной команде ирландского клуба «Мервью Юнайтед» в возрасте 11 лет. Летом 2016 года стал игроком английского клуба «Брайтон энд Хоув Альбион». В основном составе «чаек» дебютировал 22 августа 2017 года в игре Кубка Английской футбольной лиги против «Барнета», заменив Томера Хемеда на 76-й минуте матча. 31 января 2019 года подписал с «Брайтоном» новый контракт, рассчитанный на три с половиной года. В тот же день было объявлено о его переходе в аренду в клуб «Лутон Таун». Вскоре после этого он получил травму подколенного сухожилия и смог официально перейти в «Лутон Таун» только 2 апреля, восстановившись от травмы. 13 апреля 2019 года дебютировал за «Лутон Таун» в матче против «Чарльтон Атлетик».