Траоре начинал свою карьеру в «Оспиталете», а в 2004 году перешёл в «Барселону». В 2013 году он был переведён во вторую команду клуба, за которую дебютировал 6 октября в матче против «Понферрадины». 23 ноября Адама попал в заявку «Барселоны» на матч с «Гранадой». На 83-й минуте матча он вышел на поле, заменив Неймара. В своём дебютном матче Адама отметился опасным ударом по воротам, однако забить ему не удалось. 4 августа 2015 года Траоре перешёл в английский клуб «Астон Вилла», с которым заключил контракт на пять лет. Переход игрока, предположительно, обошёлся его новому клубу в 10 млн евро, за счёт возможных бонусов сумма могла возрасти до 12 млн евро, кроме того, «Барселона» оставила за собой приоритетное право на выкуп контракта Адамы в следующие три года. После перехода Траоре в «Астон Виллу» тренер этого клуба Тим Шервуд отметил, что следит за игроком уже несколько лет и находит в нём немного от Месси и Роналду. Шервуд отметил, что 19-летний испанец отличается хорошими физическими данным: он силён, быстр и динамичен. 22 августа Траоре дебютировал в английской Премьер-лиге, выйдя на замену в концовке матча с «Кристал Пэлас». В этом матче Адама отличился опасным навесом, после которого игрок команды противника срезал мяч в свои ворота. Через три дня в матче второго раунда Кубка лиги против «Ноттс Каунти» Траоре вышел в стартовом составе и забил свой первый гол за «Астон Виллу». В том матче футболист получил травму, из-за которой провёл без футбола месяц.