Кутуджу начинал карьеру в академиях клубов «Шпортфройнде» и «Рот-Вайсс», а в 2011 году перешёл в «Шальке 04». Вместе с юношескими командами «Шальке» до 17 и 19 лет он становился чемпионом западной Бундеслиги. 11 декабря 2018 года Кутуджу дебютировал за первую команду «Шальке», заменив Седрика Тойхерта на 72-й минуте матча Лиги чемпионов с московским «Локомотивом» (1:0). Четыре дня спустя Ахмед дебютировал в Бундеслиге, также заменив Тойхерта во втором тайме матча с «Аугсбургом» (1:1). В январе 2021 года перешёл на правах аренды в нидерландский «Хераклес». Летом 2021 года перешел из «Шальке» в «Истанбул Башакшехир»