Энзли Мейтленд-Найлз является воспитанником лондонского «Арсенала» он прошёл через все возрастные категории «канониров». В сезоне 2013/14 он начал выступать за резервную команду лондонского клуба, а 24 октября 2014 года подписал свой первый профессиональный контракт с клубом. Дебют футболиста в первой команде «Арсенала» состоялся 9 декабря 2014 года, когда он сыграл 45 минут в матче Лиги чемпионов против «Галатасарая» и стал вторым после Джека Уилшира самым молодым игроком «канониров», когда-либо игравшем в этом турнире. Спустя четыре дня Мейтленд-Найлз дебютировал в Премьер-лиге, выйдя на замену Алексу Окслейду-Чемберлену в дополнительное время игры против «Ньюкасла», которая завершилась победой «Арсенала» со счётом 4:1. 2 июля 2015 года на правах сезонной аренды перешёл в клуб «Ипсвич Таун». 8 августа 2015 года состоялся дебют игрока за «трактористов»: англичанин вышел на поле в стартовом составе и отыграл 82 минуты матча против «Брентфорда» (2:2). В сентябре был признан лучшим игроком месяца в своём клубе. 3 ноября 2015 года забил первый гол в своей профессиональной карьере, поразив ворота «Болтона». Свой второй гол за клуб игрок смог забить 19 января 2016 года в ворота «Портсмута» в матче Кубка Англии. Всего за сезон в «Ипсвиче» игрок принял участие в 32 матчах и отметился двумя забитыми голами, после чего вернулся в «Арсенал».