Заниматься футболом Маккарти начинал в школе клуба «Уимблдон», оттуда перевёлся в «Уиком Уондерерс» и уже в шестнадцатилетнем возрасте пришёл в академию «Рединга». В молодёжной команде клуба Алекс провёл два сезона, в первом сыграл 16 матчей, во втором — 26. В академии его партнёрами были Гильфи Сигурдссон, Алекс Пирс, Саймон Черч и Хэл Робсон-Кану, впоследствии ставшие важными игроками для первой команды «Рединга». Свой первый опыт игры на взрослом уровне Маккарти получил в августе 2007 года, когда его на один матч отдали в аренду клубу «Уокинг», чтобы он подменил травмированного вратаря в матче Футбольной Конференции с «Солсбери Сити». Игра завершилась поражением его команды со счётом 1:2. В марте 2008 года Алекса отправили в ещё одну аренду, на этот раз в «Кембридж Юнайтед», где он также сыграл всего один матч, 29 марта против «Киддерминстер Харриерс», в котором пропустил три гола. В июле того же года Маккарти заключил с «Редингом» свой первый профессиональный контракт.