Макаллистер — воспитанник клуба «Архентинос Хуниорс». 30 октября 2016 года в матче против «Сентраль Кордоба» он дебютировал в аргентинской Примере B. 11 марта 2017 года в поединке против «Институто» Алексис забил свой первый гол за «Архентинос Хуниорс». По итогам сезона Макаллистер помог клубу выйти в элиту. 9 сентября в матче против «Патронато» он дебютировал в аргентинской Примере. 24 января 2019 года Макаллистер заключил контракт на четыре с половиной года с английским клубом «Брайтон энд Хоув Альбион». По условиям сделки остаток сезона 2018/19 он провёл в аренде в «Архентинос Хуниорс». В июне 2019 года футболистом интересовался московский «Спартак», однако Алексис отправился в годичную аренду в «Бока Хуниорс».