Амир Ррахмани начинал карьеру футболиста в клубе «Дреница», выступавшем в косовской Суперлиге. К нему проявлял интерес ряд албанских клубов, в итоге в июле 2013 года Ррахмани подписал контракт с тиранским клубом «Партизани». Отыграв 2 сезона в Албании Ррахмани летом 2015 года перешёл в хорватский «Сплит». 20 января 2020 года перешёл из «Вероны» в другой итальянский клуб Серии А — «Наполи», при этом сразу был отдан на остаток сезона до 30 июня 2020 года обратно в «Верону» на правах аренды. Сумма трансфера составила 14 млн евро. 24 августа 2020 года вернулся из аренды в «Наполи». 3 января 2021 года дебютировал в составе «Наполи» в выездной победной встрече против «Кальяри» (4:1), выйдя на замену на 87-й минуте игры вместо Костаса Маноласа.