Андер Барренечеа — воспитанник команды «Антигуоко» из города Сан-Себастьян. В 2013 году попал в систему подготовки «Реал Сосьедад». 21 декабря 2018 года в матче против «Алавеса» футболист впервые сыграл за основную команду в чемпионате Испании, став 26-м в списке самых молодых дебютантов в истории Ла Лиги и первым участником турнира, рождённым в XXI веке. В домашнем матче предпоследнего тура чемпионата Барренечеа забил свой первый гол в Ла Лиге и помог своей команде победить мадридский «Реал» со счётом 3:1.