Анджело Огбонна начал свою карьеру в молодёжной команде «Кассино», там его приметили скауты клуба «Торино», к молодёжному составу которого присоединился талантливый центральный защитник. 11 февраля 2007 года Огбонна дебютирует в первой команде клуба в матче с «Реджаной», который завершился со счётом 1:2 не в пользу «Торино». В августе 2007 года Огбонна переходит на правах аренды в клуб серии С1 «Кротоне», по окончании сезона футболист вернулся в «Торино», где уже стал твёрдым игроком основного состава. 22 декабря 2008 года Огбонна попал в аварию, которая на две недели вывела его из игры, 7 января 2009 года Огбонна вернулся на поле. 11 ноября 2011 года Огбонна дебютировал в составе сборной Италии, выйдя на поле в товарищеской встрече со сборной Польши. 11 июля 2013 года после прохождения медицинского обследования Анджело перебрался в «Ювентус». Сумма трансфера составила €13 млн. 10 июля 2015 года «Вест Хэм Юнайтед» официально объявил о подписании итальянского защитника сроком на четыре года. Дебютировал за «Молотобойцев» 30 июля 2015 года в матче Лиге Европы против «Астры».