Воспитанник футбольной школы «Чертаново», куда он попал после того, как его «забраковали» в футбольных академиях «Краснодара» и ЦСКА из-за малого роста. После выпуска из школы «Чертаново» перешёл в краснодарскую «Кубань», откуда пытался пробиться в основу команды РПЛ, но так и не смог этого сделать. В 2014 году вернулся в «Чертаново», где постепенно вышел на лидирующие роли в основной команде. В сезоне 2017/18 клуб занял первое место в группе «Запад» первенства ПФЛ и пробился в ФНЛ, а Зиньковский стал лучшим бомбардиром лиги с 18 мячами. В сезоне 2018/19 забил 11 мячей в 22 матчах в первой части сезона. Во время зимнего трансферного окна 2019 года Зиньковский был выкуплен у «Чертаново» «Крыльями Советов», выступающими в РПЛ. Дебютировал в премьер-лиге в игре против «Локомотива». В этом матче вышел на замену на 87-й минуте вместо Александра Самедова. 12 апреля 2019 года забил свой первый гол в премьер-лиге в матче против казанского «Рубина». В сезоне 2019/20 отдал 8 голевых передач и занял по этому показателю 3-е место в РПЛ, пропустив вперёд нападающего «Зенита» Артёма Дзюбу и полузащитника московского «Спартака» Зелимхана Бакаева. В октябре 2021 года Антон впервые был вызван в сборную России на отборочные матчи к ЧМ-2022 со сборными Словакии и Словении, но в результате был отцеплен и не попал в окончательный список.