Груневелд — воспитанник клубов «Осс» и ПСВ. 7 декабря 2015 года в матче против «НАК Бреда» он дебютировал в Эрстедивизи в составе дубля последних. Летом 2016 года Арно перешёл в НЕК. 10 сентября в матче против своего бывшего клуба ПСВ он дебютировал в Эредивизи. 14 мая 2017 года в поединке против «Херенвена» Груневелд забил свой первый гол за НЕК. По итогам сезона команда вылетела из элиты, но Арно остался в команде.

Летом 2018 года Груневелд перешёл в бельгийский «Брюгге». 29 июля в матче против «Эйпена» он дебютировал в Жюпиле лиге. 10 августа в поединке против «Кортрейка» Арно сделал «дубль», забив свои первые голы за «Брюгге». 3 октября в матче Лиги чемпионов против «Атлетико Мадрид» он отметился забитым мячом.