Сигурдссон — воспитанник клуба «Акранес». 3 октября 2015 года в матче против «Вестманнаэйяра» он дебютировал в чемпионате Исландии. В начале 2017 года Сигурдссон перешёл в шведский «Норрчёпинг». Для получения игровой практики в начале Арнор выступал за фарм-клуб «Сильвию». 15 сентября в матче против «Кальмара» он дебютировал за основной состав в Аллсвенскан лиге. 5 мая 2018 года в поединке против «Эстерсунда» Арнор сделал «дубль», забив свои первые голы за «Норрчёпинг».

31 августа 2018 года Сигурдссон подписал пятилетний контракт с московским ЦСКА. Сумма трансфера составила 4 млн. евро. 19 сентября в поединке группового турнира Лиги чемпионов против пльзеньской «Виктории» Арнор дебютировал за основной состав. Спустя три дня в матче против московского «Спартака» он дебютировал в РПЛ, заменив во втором тайме Алана Дзагоева. 7 ноября 2018 года в поединке группового этапа Лиги чемпионов против итальянской «Ромы» Арнор забил свой первый гол за ЦСКА. 11 ноября в матче против «Зенита» забил первый гол в Премьер-Лиге. 12 декабря в поединке Лиги чемпионов против «Реала» Арнор отметился забитым мячом. 6 апреля 2019 года он сделал «дубль» в ворота московского «Спартака» и помог своей команде одержать победу в дерби.