Арсен Захарян является уроженцем Самары и воспитанником клуба «Крылья Советов», первый тренер — Владимир Королёв. В юношеском возрасте, транзитом через Академию футбола имени Юрия Коноплёва, перебрался в академию московского «Динамо». С сезона 2020/2021 стал выступать за вторую команду москвичей. 10 августа 2020 года дебютировал за неё в поединке ПФЛ против владимирского «Торпедо», выйдя в стартовом составе и забив гол на 73-ей минуте. В октябре 2020 попал в список 60 лучших молодых футболистов в мире, родившихся в 2003 году, ежегодно составляемый британским изданием The Guardian. 1 ноября 2020 года дебютировал в Премьер-лиге в поединке против «Тамбова» (2:1), выйдя на замену на 76-й минуте вместо Дмитрия Скопинцева. Дебютировал за первую сборную России в матче отборочного турнира чемпионата мира 2022 года с Хорватией (0:0) 1 сентября 2021 года. В 2023 году Захарян присоединился к футбольному клубу «Реал Сосьедад» из испанского города Доностии-Сан-Себастьяна, подписав трудовое соглашение до 2029 года.