В возрасте 8 лет Дзюба пришёл в академию «Спартака», куда его пригласил после просмотра Александр Ярцев, сын Георгия Ярцева. В 2005 году перешёл во взрослую команду «Спартака» и начал выступать за дублирующий состав по рекомендации Евгения Сидорова. Своими успехами в дубле заслужил право тренироваться с основным составом. За «Спартак» дебютировал в 2006 году в матче Кубка России против «Урала», а в чемпионате России дебют состоялся в 12-м туре, в матче с раменским «Сатурном» (1:1) — вышел на поле на 71-й минуте, заменив Никиту Баженова. Впервые в основном составе «красно-белых» Дзюба появился в ответном матче Кубка России против «Урала». В сезоне 2006 провёл 8 матчей за основной состав команды, голов не забивал. В 2007 году Дзюба начал стабильно играть в основном составе, провёл 27 матчей во всех турнирах и забил 5 голов. Первый гол забил 15 апреля в 5 туре в игре с «Томью». С командой стал серебряным призёром чемпионата. Единственный гол в чемпионате забил в ворота «Томи» (1:1) и спас «Спартак» от поражения. В Кубке УЕФА дебютировал 29 ноября в матче со «Спартой» (0:0), был заменен на 78-й минуте. Первый гол в еврокубках забил 19 декабря в матче с «Тулузой» на 61-й минуте с пенальти. Принимал участие в юношеском чемпионате Европы 2007 года и забил 2 мяча в дебютном матче против сборной Германии, что не спасло россиян от поражения в том матче; команда выступила на том турнире неудачно, не сумев выйти из группы. Сезон Артём снова начал запасным. В чемпионате он сыграл 16 игр, но ни одну из них не провёл полностью. 23 августа Дзюба забил свой единственный гол в чемпионате в ворота московского «Динамо», что позволило «Спартаку» уйти от поражения. В единственном кубковом матче этого года, проведённом 6 августа против брянского «Динамо», Артём забил два мяча и тем самым вывел «Спартак» в 1/8 финала, где его соперником стало московское «Динамо». В заключительном матче группового этапа Кубка УЕФА против «Тоттенхэма» Артём забил два мяча, но англичанам удалось сравнять счёт, и «Спартак» не смог продолжить борьбу за трофей. 2009 год Артём начал в московском «Спартаке», но отыграл за него лишь первый круг, сыграв 8 матчей и забив два мяча в ворота подмосковного «Сатурна» и томской «Томи». В том же сезоне у одноклубника Дзюбы, Владимира Быстрова, на сборах в Австрии было украдено из номера 23 тысячи рублей. Сам Владимир обнаружил эту сумму в карманах Артёма. Позже Дзюба сказал, что его подставили, и называл Быстрова «изделием номер 23». В этом конфликте «Спартак» встал на сторону Быстрова, в результате чего Дзюба был отдан в аренду в Томск. Второй круг Дзюба играл за «Томь». 3 октября в матче против всё того же подмосковного «Сатурна» Артём отметился дублем. 29 ноября он забил гол в ворота самарских «Крыльев». Всего в сезоне 2009 года Артём провёл 18 матчей и забил 5 мячей. В 2010 году снова перешёл на правах аренды в «Томь», где наряду с Сергеем Корниленко стал основным форвардом команды. Довольно хорошо проявил себя, забив 10 голов за сезон. По окончании сезона вернулся в «Спартак». Следующие два сезона были успешными для игрока. Дебютной игрой в сезоне для Дзюбы стал матч Лиги Европы против швейцарского «Базеля», в котором «Спартак» одержал волевую победу со счётом 3:2, один из мячей забил Артём. В ответной игре с «Базелем» Артём не реализовал множество моментов, но всё же в этой игре он отметился голевой передачей на Эйдена Макгиди, который вырвал ничью в матче (1:1), а по сумме двух игр «Спартак» выиграл со счётом 4:3 и вышел в 1/8 финала Лиги Европы. 3 марта в 1/8 финала Кубка России против новосибирской «Сибири» после передачи Эмина Махмудова Артём открыл счёт своим голам в кубковых матчах 2011 года, «Спартак» в этой игре одержал победу со счётом 2:0 и вышел в 1/4 финала. 14 апреля в ответном матче 1/4 финала Лиги Европы против «Порту» Дзюба забил гол и сделал голевую передачу, но «Спартаку» это не помогло — он проиграл 2:5 и не прошёл в 1/2 финала. 24 апреля 2011 года забил победный гол в ворота «Спартака-Нальчика». Оформил дубль 21 мая 2011 года в игре с «Краснодаром». В итоге матч завершился победой «Спартака» (4:0). 21 августа спас свою команду от поражения, забив на 53 минуте ответный гол в ворота нальчикского «Спартака». 28 апреля 2012 забил гол на 43 минуте в ворота ЦСКА, однако «Спартак» уступил со счётом 1:2. 6 мая впервые вышел на поле с капитанской повязкой в гостевом матче с «Зенитом», в том матче «Спартак» выиграл 3:2. 13 мая забил один из голов в ворота «Локомотива» и помог «Спартаку» пробиться в Лигу чемпионов, ещё один гол забил Марек Сухи. Летом 2018 года после окончания чемпионата мира и аренды в «Арсенале» вернулся в «Зенит». В первом туре сезона 2018/19 забил победный гол в ворота «Енисея» и был признан лучшим игроком тура по версии РПЛ. За Дзюбу проголосовало 29,46 % всех опрошенных. Также появлялась информация об интересе к Дзюбе со стороны «Бордо» и «Галатасарая». 16 августа в матче 3-го квалификационного раунда Лиги Европы впервые в своей карьере сделал хет-трик в еврокубках, а «Зенит» добился победы в дополнительное время над «Динамо» из Минска со счётом 8:1, уступив в первом матче 0:4. В матче 25 тура против «Динамо» забил свой 100-й гол в рамках РПЛ. 4 мая 2019 года после окончания 27 тура «Зенит» досрочно стал победителем РПЛ сезона 2018/19. Артём Дзюба впервые в своей карьере стал чемпионом России.