В 2003 году Асмир подписал молодёжный контракт с английским клубом «Портсмут», а спустя два года заключил своё первое взрослое соглашение с «помпи». После заключения долгосрочного соглашения, игрока начали отправлять в аренды, в клубы рангом ниже, нежели «Портсмут», с той целью, чтобы футболист набрался опыта в играх за основной состав команд. Первым клубом в долгом списке арендаторов футболиста стал бельгийский «Ла-Лувьер». За бельгийский клуб Асмир провёл всего два матча, после чего вернулся в Англию, где начал выступать за «Маклсфилд Таун», который взял его в аренду на сезон 2006/07. Дебютную встречу за свой новый клуб Бегович провёл 25 ноября 2006 года против «Стокпорт Каунти», когда вышел на замену на восьмидесятой минуте вместо травмированного Джонни Брэйна. Однако в скором времени арендное соглашение было досрочно расторгнуто после того, как футболист получил травму колена. За «Маклсфилд Таун» игрок успел провести всего три встречи.