В «Экстракласса» Бартломей дебютировал 27 мая 2014 года в 36-м туре сезона 2013/14 в матче против «Короны», завершившемся со счётом 4:4. В 6-м туре следующего сезона 2014/15 в матче против вроцлавского «Шлёнска» на 62-ой минуте с поля был удалён на тот момент основной голкипер «Ягеллонии» Якуб Словик, после чего Дронговский прочно занял место в воротах основной команды и провёл все оставшиеся 29 игр чемпионата. Бартломей помог команде финишировать на итоговом 3-м месте, впервые за три года попасть в квалификационный раунд Лиги Европы и заслужил награды «Открытие сезона» и «Лучший вратарь» от организаторов чемпионата. 2 июля 2015 года Дронговский провёл свой первый матч в еврокубках, сыграв в первом квалификационном раунде Лиги Европы против литовского клуба «Круоя». 4 июля 2016 года Бартломей подписал контракт с итальянской «Фиорентиной» сроком на 5 лет. В январе 2019 года Дронговский отправился в аренду в «Эмполи».