Начал карьеру в клубе «Беса Печ», где провёл два сезона. Также отыграл два сезона в составе албанского клуба «Беса». 27 мая 2014 года подписал однолетний контракт со «Скендербеу». Дебютировал в матче квалификационного раунда Лиги Чемпионов 2014/15 против белорусского БАТЭ — вышел на поле в стартовом составе и был заменён на 60-й минуте матча. Матч был завершён со счётом 1:1, БАТЭ прошёл дальше благодаря правилу выездного гола. В своей следующей игре в составе клуба Бериша выиграл Суперкубок Албании, победив «Фламуртари» со счётом 1:0. 23 августа 2014 года дебютировал в Албанской Суперлиге, отыграв полный матч против «Эльбасани» на стадионе «Кемаль Стафа». Позже, в октябре, дебютировал в Кубке Албании в матче против «Химары». Сыграл в обеих встречах и забил по одному голу в каждой. «Скендербеу» прошёл дальше, победив с суммарным счётом 20:1. В конце сезона 2014/15 продлил контракт со «Скендербеу» до 2017 года. 26 декабря 2016 года грозненский «Терек» объявил о достигнутой договоренности с «Анжи» о переходе Бериши. 4 января 2017 года Бернард заключил контракт с новой командой на три с половиной года.. В «Тереке» Бериша выбрал номер «77». 8 апреля в матче 22-го тура с «Арсеналом» (3:1) забил первый гол за грозненцев, установив окончательный счёт во встрече на компенсированной минуте поединка. 14 июля 2019 года в первом туре чемпионата России 2019/20 забил в Грозном единственный мяч в ворота «Краснодара» (1:0). 31 августа 2019 года сравнял счёт на последней минуте в матче с «Тамбовом» в Грозном (1:1). Третий и последний мяч в чемпионате 2019/20 забил только 19 июня 2020 года в ворота «Крыльев Советов» в Самаре (4:2). 26 августа 2020 года в Москве забил победный мяч в ворота «Локомотива» (3:2). Этот гол стал 10-м для Бериши в чемпионатах России.