Башачикоглу — воспитанник клуба «Аякс». В 2011 году он попал в молодёжную систему команды «Херенвен». 8 ноября 2013 года в поединке против «Валвейк» Билал дебютировал в Эредивизи, заменив Хаким Зиеша. 21 декабря в матче против АЗ Башачикоглу забил свой первый гол за «Херенвен». Летом 2014 года Билал перешёл в «Фейеноорд». Сумма трансфера составила 2,5 млн. евро. 10 августа в матче против АДО Ден Хааг он дебютировал за новую команду. 23 августа в поединке против «Витесса» Башачикоглу забил свой первый гол за «Фейеноорд». В 2016 году он помог клубу выиграть Кубок Нидерландов. В 2017 году Билал помог «Фейеноорду» впервые за 18 лет выиграть чемпионат. Летом 2018 года Башачикоглу перешёл в «Кайсериспор».