Сёюнджю — воспитанник клуба «Буджаспор» из своего родного города. В 2013 году Чалар подписал первый профессиональный контракт с командой «Алтынорду», также базирующейся в его родном Измире. 28 декабря 2014 года в матче против «Манисаспора» он дебютировал в Первой турецкой лиге. В своём втором сезоне Сёюнджю завоевал место в основе. 23 августа 2015 года в поединке против «Болуспора» Чалар забил свой первый гол за «Алтынорду». Летом 2016 года Сёюнджю перешёл в немецкий «Фрайбург». Сумма трансфера составила 2,5 млн. евро. 28 августа в матче против «Герты» он дебютировал в Бундеслиге. 1 октября 2017 года в поединке против «Хоффенхайма» Чалар забил свой первый гол за «Фрайбург». Летом 2018 года Сёюнджю перешёл в английский «Лестер Сити», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 20 млн. евро. 27 октября в матче против «Вест Хэм Юнайтед» он дебютировал в английской Премьер-лиге.