Воспитанник футбольной академии клуба «Астон Вилла», за которую выступал с шестилетнего возраста. 27 августа 2019 года дебютировал в основном составе «Виллы» в матче Кубка Английской футбольной лиги против «Кру Александра». В октябре 2020 года отправился в аренду в клуб Национальной лиги «Солихалл Мурс». Провёл в клубе весь сезон, сыграв 29 матчей и забив 6 мячей. Перед началом сезона 2021/22 Арчер вернулся в «Виллу». 24 августа 2021 года в матче второго раунда Кубка Английской футбольной лиги против «Барроу» он сделал хет-трик. 22 сентября 2021 года в матче третьего раунда Кубка Английской футбольной он забил гол в ворота «Челси». Три дня спустя, 25 сентября 2021 года, Арчер дебютировал в Премьер-лиге, выйдя на замену Джейкобу Рэмзи в матче против «Манчестер Юнайтед».