Картер-Викерса в возрасте 10 лет заметили скауты лондонского клуба «Тоттенхэм Хотспур», а через год он стал игроком академии «шпор». Летом 2016 года принял участие в Международном кубке чемпионов, предсезонном турнире, в котором «Тоттенхэм» провёл 2 игры в Мельбурне. В обоих матчах вышел в стартовом составе «шпор» в футболке с номером «38». Это были игры против «Ювентуса» и против «Атлетико Мадрид». 21 сентября 2016 года Картер-Викерс дебютировал за основной состав «Тоттенхэм Хотспур» в матче третьего раунда Кубка Футбольной лиги против «Джиллингема». 25 августа 2017 года защитник отправился в сезонную аренду в клуб «Шеффилд Юнайтед», который вышел в Чемпионшип. 12 сентября дебютировал за клуб в матче против «Болтон Уондерерс», забив гол в этой игре на 33-й минуте, который стал победным, гарантировав «клинкам» победу со счётом 1:0.