Дженк Тосун является воспитанником клуба «Айнтрахт» из Франкфурта-на-Майне, куда он попал в 1997 году. Более десяти лет он провёл, выступая за различные молодёжные команды «Айнтрахта», в 2008 году стал играть за дублирующий состав. Полноценный дебют Тосуна во взрослой команде «Айнтрахта» состоялся 8 мая 2010 года в матче 34-го тура немецкой Бундеслиги против «Вольфсбурга». Тосун вышел на замену вместо Мартина Фенина на 75-й минуте игры, завершившейся поражением франкфуртского клуба со счётом 1:3. Этот матч так и остался единственным для Дженка в чемпионате Германии. В январе 2011 года Тосун перешёл в турецкий клуб «Газиантепспор», заплативший за его переход «Айнтрахту» 550 тысяч евро. Контракт был подписан на три с половиной года. Дженк сразу же стал игроком основного состава и одним из лидеров команды. Во второй половине сезона чемпионата Турции он принял участие в 14 матчах, забил в них 10 голов и отдал 6 результативных передач. Из этих 14 матчей команда выиграла 10, а сезон завершила на четвёртом месте и заслужила право на участие в Лиге Европы. Всего за четыре сезона Тосун сыграл в чемпионате Турции за «Газиантепспор» 114 матчей и забил в них 43 гола.