Амарти начал свою карьеру в клубе второго дивизиона чемпионата Ганы «Интернешнл Эллиес». Он был замечен Магнусом Перссоном во время поездки того по Африке с целью подбора игроков для шведского клуба «Юргорден». Шведы приобрели права на Дэниела, который должен был присоединиться к шведскому клубу как только ему исполнится 18 лет. Чтобы помочь Амарти подготовиться к переезду в 2013 году в Швецию, игрок регулярно приезжал в 2011 и 2012 на краткосрочные тренировочные сборы с молодёжной командой «Юргордена». 3 марта 2013 года ганец дебютировал в матче кубка Швеции против «Умео». Вскоре Амарти провёл первый матч в чемпионате Швеции, выйдя в стартовом составе в матче с Хельсинборгом. Успешная игра ганца привлекла внимание скаутов из немецких клубов «Шальке 04» и «Кайзерслаутерн». Свой первый мяч в Швеции Дэниел забил в финальном матче кубка Швеции против «Гётеборг», сравняв счет ударом головой, однако его команда потерпела поражение в серии пенальти. По итогам сезона 2013 года в Швеции восемнадцатилетний ганец вошёл в 10 лучших игроков по версии газеты «Expressen» и занял 18 место в рейтинге «Aftonbladet». В ноябре 2013 года Дэниел подтвердил информацию о том, что он ведёт переговоры о переходе в английский «Ливерпуль».