Арзани — воспитанник клубов «Сидней» и «Мельбурн Сити». 21 октября 2016 года в матче против «Перт Глори» он дебютировал в А-Лиге в составе последнего. 25 января 2018 года в поединке против «Ньюкасл Юнайтед Джетс» Дэниел забил свой первый гол за «Мельбурн Сити». По итогам сезона он был признан лучшим молодым футболистом сезона. Летом 2018 года Арзани перешёл в английский «Манчестер Сити» и сразу же для получения игровой практики был отдан в аренду в шотландский «Селтик». 31 октября в матче против «Данди» он дебютировал в шотландской Премьер-лиге. Летом 2020 года Арзани был отдан в аренду в нидерландский «Утрехт». 18 сентября в матче против «ВВВ-Венло» он дебютировал в Эредивизи. В начале 2021 года Даниел на правах аренды перешёл в датский «Орхус». 7 февраля в матче против «Люнгбю» он дебютировал в датской Суперлиге. Летом того же года Арзани был отдан в аренду в бельгийский «Ломмел». 21 августа в матче против «Мускрон-Перювельз» он дебютировал во Втором дивизионе Бельгии.