Давинсон Санчес начал заниматься футболом в отделении клуба «Америка» (Кали) в городе Калото, затем его семья переехала в Медельин, после чего Давинсон присоединился к молодёжной академии «Атлетико Насьоналя». Приходу в «Атлетико» игроку помог Хуан Карлос Осорио. За основу «бело-зелёных» дебютировал 28 октября 2013 года в матче Финалисасьона против «Бояка Чико» (0:1), отыграв весь матч. До конца турнира Санчес принял участие ещё в двух матчах и впервые в карьере стал чемпионом Колумбии. В Апертуре 2014 года, которую «Атлетико Насьональ» также выиграл, Санчес не сыграл ни одной минуты и крайне редко попадал даже в заявку команды. С августа 2014 года Давинсон вновь стал привлекаться к основному составу — вначале в Кубке Колумбии, а в сентябре он сыграл первый в календарном году матч в Примере. Однако первую половину 2015 года Санчес вновь пропустил, став более активно привлекаться к основе во втором полугодии. Вместе с «Атлетико Насьоналем» в конце года он во второй раз в карьере стал чемпионом страны (Финалисасьон). В розыгрыше Кубка Либертадорес 2016 Давинсон Санчес стал одним из лидеров «Атлетико Насьоналя», вышедшего в полуфинал турнира. Санчес (по состоянию на окончание четвертьфинальных поединков) провёл все десять матчей своей команды в турнире, причём без замен. В матче группового турнира против «Спортинг Кристала» 2 марта он открыл счёт (3:0). Этот гол стал не только победным в матче, но и первым в профессиональной карьере Давинсона.