Воспитанник подмосковного футбола. Начинал заниматься в местной огудневской физкультурно-спортивной школе «Селена», затем в школах щёлковского «Спартака» и фрязинского «Олимпа». После перебрался в училище олимпийского резерва «Мастер-Сатурн», находящееся в Егорьевске. Там занимался под руководством Сергея Кищенко. Выступал за юношескую команду «Сатурна». Проведя в раменском клубе два с половиной года, перешёл в академию московского «Локомотива», где попал в команду 1996 года рождения, которую тренировал Николай Ульянов. С начала 2013 года Сергей Полстянов начал привлекать юного полузащитника к тренировкам молодёжного состава «железнодорожников». 19 апреля Баринов дебютировал в молодёжном первенстве, на 74-й минуте гостевого матча с «Кубанью» (1:1) вышел на поле вместо Никиты Саламатова.. 22 мая 2019 года в финальной игре Кубка России против Урала (1:0), Дмитрий Баринов ставший автором единственного гола, был признан лучшим игроком матча. 9 июля 2019 года Баринов продлил контракт на четыре года. 18 сентября 2019 года забил свой дебютный гол за Локомотив в еврокубках, отличившись в ворота немецкого «Байера» (2:1), в рамках группового этапа Лиги чемпионов 2019/20.