Воспитанник калининградского футбола. Первый тренер — Виктор Шеленков, но большую часть времени, с 7 до 18 лет занимался у Виктора Бирюкова. 1 ноября 2009 года, в матче с новотроицкой «Ностой», Стоцкий, выйдя на замену на 81-й минуте, дебютировал за «Балтику». В 2010 году полгода провёл в аренде в клубе высшего литовского дивизиона «Клайпеда», за который провёл 13 матчей и забил 1 гол. С сезона 2011/2012 являлся твёрдым игроком стартового состава «Балтики». В сезоне 2014/2015, после ухода Григория Чиркина, был капитаном клуба. В феврале 2015 года перешёл в клуб Премьер-Лиги «Уфа», подписав контракт на 2,5 года. Дебютировал в составе уфимцев 8 марта в гостевом матче с московским «Динамо», провёл на поле все 90 минут. 17 мая в 28 туре в матче против «Зенита» отдал голевой пас, а 23 мая в 29 туре в матче против московского «Спартака» забил победный гол. 12 мая 2018 года было объявлено, что по окончании сезона 2017/2018 Стоцкий перейдет в команду «Краснодар». В Краснодаре стал универсальным игроком замены-Дмитрий играет и левого флангового атакующего, и также подменял в случае рецидивов или пропусков/удалений крайних защитников, поэтому и играл на позициях левого и правого защитника. 28 апреля 2019 года в решающем матче за 3 место и попадание в квалификацию Лиги Чемпионов с ЦСКА в результате контратаки забил второй гол.