Сапата — воспитанник клуба «Америка» из своего родного города Кали. В 2008 году он дебютировал за команду в Кубке Мустанга. 18 мая года в матче против «Бояка Чико» Дуван забил свой первый гол. В том же году он помог клубу выиграть Клаусуру. В 2011 году после молодёжного чемпионата мира Сапата был отдан в аренду в аргентинский «Эстудиантес». 26 сентября в матче против «Бельграно» он дебютировал в аргентинской Примере. В конце этой встречи Дуван забил свой первый гол за новый клуб. По итогам сезона Сапата 5 раз поразил ворота соперников в 11 матчах за «Эстудиантес» и руководство команды выкупило трансфер нападающего. Сумма сделки составила 1,2 млн евро. Весь следующий сезон Дуван был главной ударной силой клуба забив 17 голов в 35 поединках.

Летом 2013 года английский «Вест Хэм Юнайтед» хотел приобрести футболиста, но не смог получить на него разрешение на работу. В августе того же года Сапата перешёл в итальянский «Наполи». 28 сентября в матче против «Дженоа» он дебютировал в Серии А. 22 октября в поединке Лиги чемпионов против французского «Олимпика» Дуван забил свой первый гол за команду.

Летом 2015 года Сапата на правах аренды перешёл в «Удинезе». 23 августа в матче против «Ювентуса» он дебютировал за новую команду, заменив во втором тайме Антонио Ди Натале. 19 сентября в поединке против «Эмполи» Дуван забил свой первый гол за «Удинезе». Летом 2017 года Сапата на правах аренды с обязательством выкупа перешёл в «Сампдорию». 17 сентября в матче против «Торино» он дебютировал за новую команду. В этом же поединке Дуван забил свой первый гол за «Сампдорию».