Буэндия — воспитанник испанского клуба «Хетафе». Первые сезона он выступал за дублирующую команду. 1 февраля 2015 года в матче против «Альмерии» он дебютировал в Ла Лиге. 27 сентября в поединке против «Леванте» Эмилиано забил свой первый гол за «Хетафе». С 2018 по 2021 год выступал за английский клуб «Норвич Сити». За декабрь 2019 года Буэндия создал своим одноклубникам 29 шансов - это самый высокий месячный показатель в Премьер-Лиге с момента начала сбора данной статистики в сезоне 2003–04. 29 апреля 2021 года, по окончании сезона, в котором Эмилиано забил 15 голов и отдал 16 голевых передач, игрок выиграл награду "Игрок Сезона Чемпионшипа". Также его назвали игроком сезона «Норвича», которым до него становили всего трое игроков не с британских островов. 10 июня 2021 года перешёл в клуб Премьер-лиги «Астон Вилла» за 33 млн фунтов, что стало рекордной продажей «Норвич Сити» и рекордным приобретением «Астон Виллы».