Фрейзер Хорнби начинал заниматься футболом в клубе «Нортгемптон Таун». В сентябре 2014 года в возрасте 15 лет перешёл в «Эвертон» за сумму в 65,5 тысяч фунтов стерлингов. В сезоне 2016/17 выступал за команду «Эвертона» до 18 лет и отметился 13 голами в 17 играх чемпионата Англии в это возрастной категории. В сезоне 2017/18 начал играть за резервную команду «Эвертона». 7 декабря 2017 года Хорнби дебютировал в основной команде «Эвертона». Футболист вышел в стартовом составе на матч Лиги Европы против кипрского «Аполлона», который завершился победой «Эвертона» со счётом 3:0. В сезоне 2019/20 на правах аренды выступал за бельгийский клуб «Кортрейк», где забил 4 гола в 14 матчах чемпионата и кубка Бельгии. 1 июля 2020 года перешёл во французский клуб «Реймс».