Джек — уроженец старинного английского города Йорк. Является воспитанником клуба «Лидс». С подачи главного тренера Томаса Кристиансена, Джек появился в основной команде, хотя и не играл за неё, и подписал с ней контракт 24 ноября 2017 года, несмотря на интерес «Манчестер Сити». 6 октября 2018 года Джек дебютировал в профессиональном футболе в поединке Чемпионшипа против «Брентфорда», выйдя на поле на замену на 70-ой минуте вместо Стюарта Далласа. Всего в дебютном сезоне провёл 22 встречи. Среди них был поединок против «Мидлсбро» 9 февраля 2019 года, когда Кларк, заменённый после перерыва, потерял сознание на скамейке запасных и был немедленно отправлен в госпиталь, где наблюдался в течение суток. 2 июля 2019 года Джек подписал четырёхлетний контракт с одним из лидеров английского футбола - «Тоттенхемом». По разным сообщениям сумма сделки составила примерно 10 млн. фунтов. В части сделки Кларк отправился доигрывать сезон обратно в «Лидс», однако провёл за него всего один матч. 27 декабря новый главный тренер «Хотспур» Жозе Моуриньо потребовал вернуть игрока из аренды, в которой он практически не играет. 16 января 2020 года Кларк был арендован «Куинз Парк Рейнджерс» сроком на полгода. Спустя два дня он дебютировал за новый клуб в поединке против клуба бывшего, выйдя на замену на 74-ой минуте вместо Илиаса Чейра. 22 октября 2020 года дебютировал в «Тоттенхэме» в поединке групповой стадии Лиги Европы 2020/2021 против австрийского клуба ЛАСК, выйдя на замену на 86-ой минуте вместо Карлоса Винисиуса.