Кепа занимался в «Атлетик Бильбао» с 2004 по 2011 года. В академию попал в 8 лет. С 2012 года играл в фарм-клубе «полосатых» — «Басконии», где замещал вратаря Сервантоса, который получил травму. В конце сезона 2012/13 Кепа и сам получил травму спины. Возможно, из-за этого сорвался его переход в мадридский «Реал». Королевский клуб был готов заплатить за перспективного кипера 1 миллион евро. На поле Кепа вернулся в январе 2014 года, но уже в резервном составе «Атлетик Бильбао», где опять получил травму. На этот раз у него была сломана рука. С 5 января 2015 года был отдан в аренду в клуб «Понферрадина» из второго дивизиона. Сразу после этого был отдан в аренду в «Реал Вальядолид», где провёл сезон 2015/16 и отыграл 40 матчей, 12 из которых отстоял на ноль. Главный тренер «Реала Вальядолида» Гаиска Гаритано не хотел отпускать талантливого игрока, однако сам Кепа решил вернуться в «Атлетик». Дебют за основную команду «Атлетик Бильбао» состоялся 11 сентября 2016 года в матче чемпионата Испании против «Депортиво» (1:0). В следующих пяти матчах выходил в стартовом составе (и во всех пропускал). После зимнего перерыва получил травму ноги и был вынужден пропустить два месяца. Летом 2017 года сообщалось, что Аррисабалага близок к переходу в «Реал Мадрид». Однако переход так и не состоялся. «Атлетик» оперативно заключил с ним новое соглашение на 5 лет, прописав внушительную сумму отступных в 50 миллионов евро. Всего за «Атлетик Бильбао» сыграл 50 матчей, в которых пропустил 44 мяча. 8 августа 2018 года стал игроком «Челси». Контракт рассчитан на 7 лет с заработной платой в 10 миллионов в год. Сумма трансфера составила 80 миллионов евро, что сделало его самым дорогим вратарем в истории футбола. Кроме того, он стал и самым дорогим испанцем.