Акпогума — воспитанник клуба «Карлсруэ». 10 ноября 2012 года в матче против «Дармштадт 98» он дебютировал в Третьей лиге Германии. 26 января 2013 года в поединке против «Оснабрюка» Кевин забил свой первый гол за «Карлсруэ». Летом того же года Акпогума перешёл в «Хоффенхайм». Сумма трансфера составила 1 млн евро. Для получения игровой практики он начал выступать за команду дублёров. Летом 2015 года Акпогума был отдан в аренду в «Фортуну» из Дюссельдорфа. 26 июля в матче против берлинского «Униона» он дебютировал во Второй Бундеслиге. Летом 2017 года Акпогума вернулся в «Хоффенхайм». 22 октября в матче против «Вольфсбурга» он дебютировал в Бундеслиге, заменив во втором тайме Штефана Поша. 1 января 2019 года Акпогума на правах аренды перешел в «Ганновер». После 4-х матчей в Бундеслиге немец выбыл до конца сезона из-за травмы плеча. В январе 2020 года Кевин Акпогума продлил контракт с «Хоффенхаймом» до 2024 года.