Выступал за молодёжный состав клуба «Во-ан-Велен». В 2009 году перешёл в «Сент-Этьен». 2 апреля 2011 года Зума подписал первый в своей карьере профессиональный контракт с клубом. Начал выступать за основной состав в сезоне 2011/12. Дебют Курта в основном составе состоялся 31 августа 2011 года в матче Кубка лиги против «Бордо». Он провёл на поле весь матч, который завершился победой «Сент-Этьена» со счётом 3:1. В 2014 году Зума подписал контракт на 5,5 лет с английским клубом «Челси», но остался играть в «Сент-Этьене» до конца сезона на правах аренды. У Курта есть старший брат, Лионель, который также является профессиональным футболистом и выступает за «Сошо». В сезоне 2014/15 начал свои выступления за лондонский «Челси». 24 сентября в матче третьего раунда Кубка Футбольной лиги против «Болтон Уондерерс» открыл личный счет забитым голом за «Челси». 21 июля 2017 года Зума перешёл в «Сток Сити» на правах аренды до конца сезона 2017/18. Сезон 2018/19 провёл на правах аренды в «Эвертоне». 28 августа 2021 года подписал четырехлетний контракт на 29.8 миллионов £ с клубом «Вест Хэм Юнайтед».