Леон Мусаев родился в Санкт-Петербурге. Отец из Дагестана, по национальности — табасаранец , родом из селения Гюхряг. Имя получил в честь героя фильма «Леон». Начал заниматься футболом с шести лет в школе «Смена», первый тренер Иван Шабаров. В августе 2016 дебютировал в составе молодежной команды, сыграл 23 матча, забил 4 мяча. В первенстве ФНЛ за «Зенит-2» дебютировал 11 июля 2016 года в матче 1-го тура против «Сокола» (1:1). В 2019 году был взят Сергеем Семаком в основную команду, и 21 февраля в матче 1/16 финала Лиги Европы дебютировал в основном составе в матче против «Фенербахче» (3:1), выйдя на замену на 87-й минуте вместо Артёма Дзюбы, в чемпионате России дебютировал 14 апреля 2019 года в домашнем матче 23-го тура против «Анжи» (5:0), выйдя на замену на 85-й минуте вместо Дзюбы. 29 января 2021 года перешёл в казанский «Рубин», подписав конткракт с клубом на 5 лет. 9 марта 2021 года Леон Мусаев получил рваную рану нижней губы в матче 21-го тура РПЛ с петербургским "Зенитом". На 15-й минуте встрече футболист столкнулся с Филиппом Уремовичем. После столкновения ему наложили 10 швов - 8 на губу и 2 на десну.