Льюис Бейкер родился в Лутоне. Начал заниматься футболом в академии «Лутон Таун». В 2005 году в возрасте 10 лет присоединился к юношеской Академии «Челси». В 2012 году помог своему клубу выиграть Молодёжный кубок Англии и подписал свой первый профессиональный контракт. В сезоне 2012/13 помог своему клубу дойти до финалов Молодёжного кубка Англии и NextGen Series, в котором его признали лучшим игроком турнира. В сезоне 2013/14, выступая за молодёжную команду «Челси», Бейкер стал чемпионом Англии, забив в финале плей-офф на «Олд Траффорде» победный гол в ворота «Манчестер Юнайтед». Дебютировал за «Челси» в официальной игре 5 января 2014 года в матче Третьего раунда Кубка Англии против «Дерби Каунти» (2:0), заменив Оскара на 87-й минуте.. В конце сезона Льюис был назван лучшим молодым игроком «Челси», а его гол в ворота молодёжной команды «Арсенала» был признан лучшим в клубе. 29 августа 2014 года, Бейкер подписал новый пятилетний контракт и был заявлен на сезон 2014/15 за основную команду. 8 января 2015 года Бейкер перешёл в клуб «Шеффилд Уэнсдей», выступающий в Чемпионате Футбольной лиги, на правах аренды до конца сезона. Уже 11 января он дебютировал за «Шеффилд Уэнсдей», выйдя на замену в матче против «Ноттингем Форест» (2:0). 10 февраля Бейкер был отозван из аренды, проведя всего 4 матча. 25 февраля перешёл в клуб «Милтон Кинс Донс», выступающий в Первой Футбольной лиги, на правах аренды до конца сезона. 28 февраля дебютировал за «Донз», выйдя в основном составе против «Ковентри Сити» (1:2). 3 марта, Льюис забил первый гол за новый клуб в матче против «Честерфилда» (1:2). 26 июня 2015 года Бейкер перешёл в клуб «Витесс», выступающий в Эредивизи, на правах аренды сроком на один сезон. 30 июля дебютировал за «Витесс», выйдя в основном составе на первый матч 3-го квалификационного раунда Лиги Европы УЕФА против «Саутгемптона» (0:3). 9 августа дебютировал в Эредивизи, выйдя в основном составе на матч 1-го тура против «Виллем II» (1:1), провел на поле весь матч. 14 августа, забил первый гол за «Витесс» с пенальти на 45-й минуте в матче против «Роды» (3:0). 11 августа 2017 года на правах сезонной аренды перешёл в клуб Чемпионшипа «Мидлсбро». Дебютировал 12 августа, выйдя на замену в домашнем поединке против «Шеффилд Юнайтед» (1:0). 22 августа забил первый гол за «Мидлсбро» в матче Кубка Лиги против «Сканторп Юнайтед» (3:0).