Воспитанник «Насьоналя» из Монтевидео, в составе которого стал чемпионом Уругвая в 2006 году. В возрасте 19 лет перебрался в Голландию в команду Эредивизи — «Гронинген». В 2007 перешёл в амстердамский «Аякс». В сезоне 2008/09 был признан игроком года в команде. В следующем сезоне назначен капитаном, тогда он забил 35 голов в 33 матчах чемпионата и был признан футболистом года в Нидерландах. Всего во всех соревнованиях за «Аякс» в том сезоне он отличился 49 раз, а также победил с командой в Кубке Нидерландов. В сезоне 2010/11 он забил сотый гол за клуб, присоединившись тем самым к таким игрокам, как Деннис Бергкамп, Йохан Кройф и Марко ван Бастен, которые ранее также преодолели данный рубеж. В январе 2011 года перешёл в английский «Ливерпуль» за 26,5 млн евро (22,8 млн фунтов). В оставшейся части сезона помог команде подняться с 12-го места на 6-е. 26 февраля 2012 года выиграл единственный трофей в составе «красных» — Кубок Футбольной лиги (2011/2012). Помимо награды лучшему игроку сезона английской Премьер-лиги, в апреле 2014 года Суарес стал первым неевропейцем — обладателем наград «Футболист года по версии Ассоциации футбольных журналистов» и «Игрок года по версии футболистов ПФА». Также, наряду с Криштиану Роналду, является обладателем европейской «Золотой бутсы» 2014 года (31 гол).