Начал свою карьеру в любительской футбольной лиге в составе команды «Ангушт». В 15 лет перешёл в молодёжный состав «Терека». Год спустя, в 2009-м был приглашён на просмотр тренерами молодёжной команды киевского «Динамо». Оздоевым заинтересовался немецкий «Шальке 04», в основной состав которого ему помешали пройти лишь возрастные ограничения. 4 февраля 2010 года подписал контракт с московским «Локомотивом». Дебютировал в основном составе команды 10 июля в матче против «Анжи», заменив на 87-й минуте Дмитрия Торбинского. 17 апреля 2011 года забил свой первый гол за «Локомотив» в ворота нижегородской «Волги». В этой встрече полузащитник вышел на замену на 74 минуте и нанес результативный удар с дальней дистанции. В сентябре 2011 года продлил контракт с командой до 2015 года. По итогам 2011 года был номинирован на звание лучшего молодого футболиста России и занял второе место со 141 баллом в активе. После очередной тренерской перестановки перестал попадать в стартовый состав. В сезоне 2012-2013 сыграл в три раза меньше матчей, отличившись ещё одним забитым голом. Во второй половине сезона был сослан в молодежную команду. Летом 2013 года российские СМИ заговорили о возможном уходе Оздоева в ЦСКА. Но сам он заявил, что будет пробиваться в стартовый состав под руководством Леонида Кучука. Однако белорусский специалист также не доверял молодому футболисту. Проведя всего 13 матчей за сезон и став бронзовым призёром чемпионата России, Оздоев заявил, что хочет покинуть «Локомотив». 14 июля 2014 года на правах аренды перешёл в «Рубин». Первый гол за новую команду забил 27 октября 2014 года в матче против московского «Динамо». В сезоне 2014/2015 был ключевым футболистом «Рубина», провел 29 из 30 матчей, забил шесть голов и был вновь вызван в сборную России. В декабре 2014 президент «Локомотива» Ольга Смородская объявила о ведущихся переговорах по продаже Оздоева. 2 января 2015 года Оздоев стал полноценным игроком «Рубина», при этом новый контракт должен вступить в силу лишь в конце года. Таким образом, футболист должен был перейти в «Рубин» на бесплатной основе. На финише сезона забил три гола в четырёх матчах и помог «Рубину» занять пятое место в турнирной таблице. Благодаря дисквалификации московского «Динамо» «Рубин» попал в Лигу Европы. Летом Оздоевым интересовался московский «Спартак», но казанский клуб исключил вариант с продажей своего опорника. На старте сезона 2015/2016 провёл свой сотый матч в премьер-лиге. 13 февраля 2017 перешёл в «Терек» на правах аренды до конца сезона, провёл 6 матчей. 15 февраля 2018 года подписал 4,5-летний контракт с петербургским «Зенитом». 3 марта 2018 года Оздоев дебютировал в составе «Зенита» в игре против пермского «Амкара». 21 февраля 2019 года он забил свой первый гол за клуб в матче Лиги Европы в ворота турецкого «Фенербахче», который завершился победой «Зенита» со счётом 3:1. В сезоне 2018/2019 он впервые выиграл чемпионат России с «Зенитом». Оздоев провёл в чемпионате 16 матчей, из них 10 — в стартовом составе.