С раннего возраста являлся одним из самых перспективных игроков «Локомотива». Уже в 16-летнем возрасте был заявлен за молодёжную команду и дебютировал за основной состав 19 июля 2009 года в матче 14-го тура чемпионата России против пермского «Амкара» (1:1), выйдя на замену на 39-й минуте вместо Дмитрия Сенникова. В матче 23-го тура ФНЛ сезона 2011/12 в составе владимирского «Торпедо» сделал первый в карьере хет-трик. По итогам первого этапа это единственный его результативный матч, а также первый забитый мяч в его профессиональной карьере. В 2012 году селекционеры «Локо» внимательно следили за игрой Максима, и по их совету главный тренер Жозе Коусейру решил взять 20-летнего футболиста на сбор в португальский Лагуш. Сезон 2012 года начался для Беляева удачно. На первый еврокубковый матч против «Атлетика» из Бильбао (2:1) Максим вышел в стартовом составе, надёжно отыграв весь матч. В ответном матче с «Атлетиком» провёл на поле 80 минут. В финальной части сезона 2011/12 являлся основным защитником «Локомотива». В 43-м туре чемпионата России забил свой первый гол за «Локомотив» в матче против московского «Динамо» (2:2). В январе 2013 года на правах аренды перешёл в «Ростов».