Занимался футболом в одесской ДЮСШ-11, в составе которой с 2015 по 2019 год играл в детско-юношеской футбольной лиге Украины. С 2018 по 2019 год поддерживал форму, выступая за любительскую команду SoHo.net. Накануне старта сезона 2019/20 стал игроком одесского «Черноморца». Играл за фарм-клуб «Черноморец-2» во Второй лиге Украины. Дебют в основном составе команды в Первой лиге Украины состоялся 17 августа 2019 года в матче против краматорского «Авангарда» (0:1). Свой первый гол за «Черноморец» забил 11 июля 2020 года в игре против львовского «Руха» (2:2). По итогам сезона 2020/21 «Черноморец» добился возвращения в Премьер-лигу, а руководство клуба перед стартом нового сезона заключило с полузащитником новый контракт. Впервые в Премьер-лиге Украины Максим Брагару сыграл 25 июля 2021 года в поединке против черниговской «Десны» (0:3).