Родился 19 июня 1992 года в совхозе «Большевик», в Житикаринском районе Костанайской области Казахстана. Его отец был русским, а мать казашка, но родилась в России. В Казахстан попала по распределению после института. В детстве играл школьном футбольном поле, ездил с командой школы на районные соревнования в Джетыгару, получил приз «Лучший полузащитник», после чего его стали приглашать играть за район. На соревнования в райцентр ездил на лошади, поскольку машины у семьи не было. Когда Быстрову было 14 лет, семья переехала на родину матери, в посёлок Спасский (30 км от Магнитогорска). В России стал заниматься футболом в ДЮСШ Олимпийского резерва № 4. На тренировки ездил 3 раза в неделю на автобусе. Позже поступил в колледж в Магнитогорске и стал тренироваться чаще, параллельно выступал за команду «Магнитогорск» в любительской лиге и подрабатывал официантом в кафе. Позже пошёл в армию, где попал в разведроту. После возвращения из армии собирался устроиться на работу в МЧС, но в то же время его позвали вновь играть за ФК «Магнитогорск». В первом матче после возвращения из армии отметился забитым голом и в целом произвёл хорошее впечатление. После игры к игроку подошёл представитель ФК «Челябинск» Михаил Шафигуллин и пригласил на командные сборы. После сборов подписал с командой контракт на 3 года. Дебютировал на профессиональном уровне 18 июля 2014 года в матче ПФЛ против нижнекамского «Нефтехимика», в котором вышел на замену на 83-й минуте. За два с половиной сезона сыграл за команду 65 матчей и забил 5 голов. 1 февраля 2017 года Быстров подписал двухлетний контракт с клубом ФНЛ «Тамбов». Успел сыграть в первенстве ФНЛ всего 14 игр, но по итогам сезона 2016/2017 получил приз «Открытие сезона». В чемпионате 2017/2018, сыграв уже 30 игр, занял с командой 4 место в лиге и принимал участие в стыковых матчах за выход в Премьер-лигу с пермским клубом «Амкар», но по сумме двух встреч «Тамбов» уступил со счётом 0:3. 21 июня 2018 года подписал контракт до конца 2020 года с казахстанским чемпионом, клубом «Астана», но уже 5 июля был отдан в аренду в костанайский «Тобол». Дебютировал в чемпионате Казахстана 14 июля 2018 года, отыграв весь матч против «Кайсара». В июле сыграл три матча в квалификации Лиги Европы УЕФА. 28 августа забил свой первый гол в Премьер-лиге в ворота «Атырау». Сыграл в чемпионате до конца сезона 14 игр и помог клубу выиграть бронзовые медали. Осенью 2018 года получил казахстанское гражданство и заявил желание играть за сборную Казахстана. В январе 2019 года перешёл в аренду в шымкентский клуб «Ордабасы» и занял место в основе. 15 августа 2020 года подписал контракт с грозненским «Ахматом».