Марио начал свою карьеру в системе клуба ГОШК, а затем перебрался в «Хайдук». 13 апреля 2013 года в матче против «Цибалии» он дебютировал в чемпионате Хорватии. Всего в своём дебютном сезоне Марио провёл два матча. 13 июля в поединке против «Задара» Пашалич забил свой первый гол за команду. По итогам сезона 2013/2014 Марио стал одним из лидеров своего клуба, забив одиннадцать голов в тридцати матчах. Летом 2014 года перешёл в английский «Челси». Сумма трансфера составила 3 млн. евро.

Тем же летом для получения игровой практики Марио был отдан в аренду в испанский «Эльче». 24 августа в матче против «Барселоны» он дебютировал в Ла Лиге. 12 апреля 2015 года в поединке против «Кордобы» Марио забил свой первый гол за «Эльче».

3 июля 2015 года Пашалич на правах аренды присоединился к французскому «Монако». 8 августа в матче против «Ниццы» он дебютировал в Лиге 1. 28 июля дебютировал за «монегасков» в еврокубках, выйдя в основном составе на первый матч 3-го квалификационного раунда Лиги чемпионов УЕФА против швейцарского «Янг Бойз» (3:1), на 75-й минуте отметился дебютным голом. 16 октября в поединке против «Лиона» Марио забил свой первый го за «Монако» в чемпионате. В ноябре он попал в число номинантов на премию Golden Boy.

Летом 2016 года Пашалич на правах аренды присоединился к итальянскому «Милану». 30 октября в матче против «Пескары» он дебютировал в итальянской Серии A. 4 декабря в поединке против «Кротоне» Марио забил свой первый гол за «Милан». В своём дебютном сезоне он помог «россонери» завоевать Суперкубок Италии.

Летом 2017 появились слухи о том, что Пашаличем активно интересуются «Бетис» и московский «Спартак». 2 августа Пашалич подписал контракт с российским клубом, контракт подписан на условиях аренды сроком на один год. 6 августа в матче против «Зенита» он дебютировал в РФПЛ, заменив во втором тайме Александра Самедова. 12 августа в матче против ЦСКА Марио забил свой первый гол за «Спартак». Два гола Пашалича, забитые за «Спартак» в 2017 году в матчах с «Зенитом» (27 ноября) и ЦСКА (10 декабря), вошли в пятёрку самых поздних голов чемпионата России по футболу. Оба гола были забиты с игры на восьмой минуте компенсированного времени второго тайма.

31 июля 2018 года Пашалич подписал арендное соглашение до конца сезона 2018/19 с клубом «Аталанта», итальянцы оставляют за собой право выкупа игрока после окончания аренды. 20 августа в матче против «Фрозиноне» он дебютировал за новую команду. В этом же поединке Марио забил свой первый гол за «Аталанту».

22 июня 2020 года «Аталанта» объявила о выкупе игрока у «Челси» по окончании арендного соглашения, сумма выкупа составила 15 млн евро + 2.5 млн за аренду футболиста.