Первым вратарём стал после ухода из «Жилины» Душана Перниша. В Лиге чемпионов 2010/11 отыграл все 6 матчей группового этапа. В раунде плей-офф от пражской «Спарты» не пропустил ни одного мяча. В июле 2016 года перешёл в либерецкий «Слован». Через год после этого Дубравка стал футболистом пражской «Спарты». 31 января «Спарта» Прага отдала вратаря в аренду в «Ньюкасл Юнайтед», который выкупил Дубравку по окончании сезона, подписав с ним контракт до 2022 года.