Мэтт является воспитанником знаменитой академии «Саутгемптона». В системе клубной академии он провёл одиннадцать лет. После продажи Люка Шоу в «Манчестер Юнайтед» Мэтта стали привлекать к играм первой команды «святых». Его дебют в английской премьер-лиге состоялся 27 сентября 2014 года в матче против «Куинз Парк Рейнджерс». Всего в своём дебютном сезоне он провёл шесть встреч. В начале следующего сезона Мэтт заменил в основном составе травмированного Райана Бертранда. 22 января 2018 года Таргетт был отдан в аренду «Фулхэму» до конца сезона 2017/2018.