Мэтти начал футбольную карьеру в футбольной академии клуба «Уиком Уондерерс». В 2012 году покинул клуб, так как из-за финансовых трудностей «Уиком» распустил свою молодёжную команду. Впоследствии играл за футбольную академию ФАБ (FAB Academy) в Бишеме (Беркшир), а в октябре 2014 года стал игроком молодёжной команды «Ноттингем Форест». В марте 2016 года отправился в аренду в клуб Лиги 2 "Дагенем энд Редбридж, в составе которого и состоялся его официальный дебют на профессиональном уровне (в матче против «Карлайл Юнайтед» 8 марта 2016 года). 5 августа 2016 года Кэш подписал новый трёхлетний контракт с «Ноттингем Форест». На следующий день он дебютировал в основном составе «Ноттингема» в матче Чемпионшипа против «Бертон Альбион». До 2019 года в основном выступал на позиции полузащитника, но в сезоне 2019/20 начал активно использоваться в роли правого крайнего защитника. В августе 2020 года он был признан лучшим игроком сезона в «Ноттингем Форест». С 2016 по 2020 год Мэтти Кэш провёл за «Ноттингем Форест» 141 матч и забил 13 голов. 3 сентября 2020 года перешёл в «Астон Виллу» за 16 млн фунтов, подписав с бирмингемским клубом пятилетний контракт. 21 сентября 2020 года дебютировал за «Виллу» в матче Премьер-лиги против «Шеффилд Юнайтед».