Паттерсон — воспитанник клуба «Рейнджерс». 17 января 2020 года в поединке Кубка Шотландии против «Странраера» Нейтан дебютировал за основной состав. 22 августа в матче против «Килмарнока» он дебютировал шотландском Премьершипе. Всего в сезоне 2020/21 принял участие в семи матчах «Рейнджерс» в чемпионате Шотландии. По итогам сезона его клуб стал чемпионом страны. За «Рейнджерс» Паттерсон выступал до середины сезона 2021/2022 и в общей сложности провёл за родную команду 27 матчей во всех турнирах, отметившись двумя забитыми голами. 4 января 2022 года о переходе Паттерсона официально объявил английский футбольный клуб «Эвертон». Футболист подписал с новым клубом контракт сроком до 2027 года и выбрал 3-й игровой номер. Сумма сделки официально не объявлялась. По сообщениям СМИ, переход защитника обошёлся английскому клубу в 12 миллионов фунтов стерлингов, а вместе с бонусами в будущем сумма трансфера может достигнуть 16 миллионов фунтов стерлингов. Дебют Паттерсона за «Эвертон» состоялся 3 марта 2022 года в матче Кубка Англии против клуба «Борэм Вуд», который завершился победой «Эвертона» со счётом 2:0. Вскоре после этого Паттерсон получил травму лодыжки, из-за которой пропустил остаток сезона 2021/2022. Таким образом, дебютный матч оказался для шотландца единственным проведённым за «Эвертон» в сезоне 2021/2022. Дебют Паттерсона в Премьер-лиге состоялся 6 августа 2022 года в матче первого тура сезона 2022/2023 против лондонского «Челси» 0:1, когда футболист вышел на поле в стартовом составе и отыграл полный матч.