Уроженец Соэма, Кембриджшир. Поуп посещал школу Кингс в близлежащем городе Или. С детства болел за «Ипсвич Таун», будучи держателем сезонного абонемента клуба, а также тренировался в его детско-юношеской академии до 16-летнего возраста. После ухода из академии «Ипсвича» в 2008 году перешёл в клуб «Бери Таун», дебютировав в основном составе которого в возрасте 16 лет. В мае 2011 года перешёл в клуб Лиги 1 «Чарльтон Атлетик», подписав с клубом двухлетний контракт. 7 февраля 2012 года Поуп подписал с клубом новый двухлетний контракт. Свой первый матч за «Чарльтон» (и первый в профессиональной карьере) провёл 4 мая 2013 года, выйдя на замену в игре последнего тура Чемпионшипа против «Бристоль Сити». В сентябре 2013 года подписал новый трёхлетний контракт с «Чарльтоном». На данный момент (2022-2023) является голкипером клуба английской Премьер-лиги «Ньюкасл Юнайтед».