Одсонн Эдуар родился в городе Куру, находящемся в французском департаменте Гвиана. Присоединился к академии «ПСЖ» в 2011 году из академии футбола «Бобиньи». В сезоне 2013/14 стал лучшим бомбардиром молодёжной команды своего клуба (до 17 лет), забив 25 голов в 22 матчах молодёжного первенства. В сезоне 2014/15 сыграл два матча в Юношеской лиге УЕФА. В сезоне 2015/16 Одсонн проводил матчи как в команде до 19 лет, так и в фарм-клубе «ПСЖ» из четвертого по силе дивизиона Франции. В 2015 году был признан самым талантливым игроком академии «парижан» по версии болельщиков. Вместе со своим клубом вышел в финал Юношеской лиги 2015/16, однако французская команда не смогла противостоять английскому «Челси», проиграв со счётом 2:1. 27 апреля 2016 года Эдуар подписал свой первый профессиональный контракт с «Пари Сен-Жермен». Был включён в состав команды на предсезонный турнир сезона 2016/17. На 79-й минуте матча против «Лестера» впервые вышел на поле в составе «Пари Сен-Жермен» в неофициальном турнире, а также забил гол, доведя счёт матча до разгромного значения — 4:0. По итогам этого матча «парижане» стали победителями данного предсезонного кубка.