Кабак — воспитанник клуба «Галатасарай». 12 мая 2018 года в матче против «Ени Малатьяспора» он дебютировал в турецкой Суперлиге, заменив во втором тайме Райана Донка. В своём дебютном сезоне Озан стал чемпионом Турции. В начале 2019 года Кабак перешёл в немецкий «Штутгарт», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 11 млн евро. 27 января в матче против «Баварии» он дебютировал в немецкой Бундеслиге. 3 марта в поединке против «Ганновер 96» Озан забил свой первый гол за «Штутгарт». Летом того же года Кабаком активно интересовались итальянский «Милан» и английский «Тоттенхэм Хотспур», но в итоге игрок за 15 млн евро перешёл в «Шальке 04», подписав контракт на 5 лет. 15 сентября в матче против «Падерборн 07» он дебютировал за новый клуб. 3 ноября в поединке против «Аугсбурга» Озан забил свой первый гол за «Шальке». 2 февраля 2021 года присоединился к английскому «Ливерпулю» на правах аренды до конца сезона 2020/21.