Начинал карьеру в футбольной школе «Боадилья», после которой попал в систему мадридского «Реала». С 2009 по 2011 год он выступал за дубль мадридцев, «Кастилью». За главную команду клуба он дебютировал в декабре 2010 года в матче Лиги чемпионов с «Осером». 3 июля 2011 года Пабло перебрался в «Хетафе». 9 июня 2016 года Сарабия присоединился к «Севилье», подписав четырёхлетний контракт. 14 августа дебютировал за свой новый клуб в домашнем матче против «Барселоны» в первом игре на Суперкубок Испании. В сезоне 2018/19 забил 12 голов, уступив только Виссаму Бен-Йеддеру, на счету которого 18 голов. 2 июля 2019 года Сарабия за 20 млн евро перешёл во французский «Пари Сен-Жермен», с которым заключил пятилетний контракт. 5 октября 2019 года он забил свой первый гол в Лиге 1 в ворота «Анже», а также сделал две голевые передачи. 31 июля 2020 года он забил победный пенальти в финале Кубка Лиги против «Лиона» после ничьей 0:0 в основное и дополнительное время. Сарабия забил шесть голов в 27 матчах в первом сезоне за клуб.